ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y FACTORES DE INTEGRACIÓN


AMED00023

 

 

La ecuación es claramente lineal. Podemos transformarla en una ecuación exacta utilizando el siguiente factor integrante:

Multiplicando la ecuación por el factor integrante:

 


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Se trata indudablemente de una ecuación lineal. La llevamos a su forma canónica y resolvemos.

 


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La llevamos a la forma canónica.

 


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Se trata de una ecuación lineal, que resolvemos de la siguiente forma: dividimos ambos miembros por x para hallar su forma canónica y calculamos el coeficiente de integración m (x).

 


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Es una ecuación lineal que se resuelve de la siguiente forma.

 

 

Multiplico toda la ecuación por sec q , para obtener:


AMED00028

 

Esta ecuación debe llevarse a la forma canónica para verificar si se trata de una ecuación lineal, ya que no es una ecuación separable ni exacta.

Esta ecuación es una ecuación lineal. Se resuelve de la siguiente forma:


AMED00029

 

 

Se trata de una ecuación lineal de x = f(y). Resolvemos a continuación multiplicando toda la ecuación por m (y).

 


AMED00030

 

 

Ecuación de variables separables, pero también se puede resolver como una ecuación lineal.

 

Separando variables:

 

 

Como ecuación lineal:

La segunda integral es:

Volviendo a la ecuación:


AMED00031

 

Es una ecuación lineal. Llevándola a la forma canónica queda:

Calculamos el factor integrante y resolvemos:


AMED00032

 

 

Es una ecuación lineal, la llevamos a la forma canónica y calculamos el factor integrante:

 

Multiplicando toda la ecuación por ese factor, queda:

 

 

Comprobación:

 

Esta última es la ecuación original.

 


AMED00033

 

 

A simple vista no parece una ecuación lineal. Pero:

Si es una ecuación lineal. Resolvemos y:


AMED00034

 

 

No es una ecuación lineal ni separable. Verificamos si es exacta:

No se trata de una ecuación exacta. Trataremos de encontrar un factor integrante que dependa de una sola de las variables y que la convierta en exacta.

Ya tenemos el factor de integración que sólo depende de x. Sólo falta resolver como una ecuación exacta al multiplicar por este factor.

 


AMED00035

 

Verificamos si se trata de una ecuación exacta:

No se trata de una ecuación exacta. Buscamos el factor integrante:

Una vez obtenido el factor integrante, multiplicamos la ecuación por el mismo y la resolvemos como una ecuación exacta. La solución de esta ecuación, será también solución de la ecuación inicial.


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Verificamos si se trata de una ecuación exacta:

Efectivamente se trata de una ecuación diferencial exacta, la resolvemos como tal:


AMED00037

Verificamos si es exacta:

No se trata de una ecuación exacta, debemos utilizar un factor de integración. Verificamos si existe algún factor de integración que dependa de x o y únicamente.

Multiplicando la ecuación por el factor integrante, la resolvemos como exacta:


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No es una ecuación diferencial exacta ya que:

Resolvemos de la siguiente forma:

Se nota que x-2 es un factor integrante, ya que:


AMED00039

No es una ecuación diferencial exacta:

 


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Esta ecuación se resuelve utilizando un factor integrante del tipo xnym.

 


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Se resuelve con un factor integrante del tipo m (x, y).


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